transformasi geometri
Transformasi
adalah suatu perpindaban/perubaban.
TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
Sifat:
REFLEKSI
(Pencerminan terhadap garis)
Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
SIFAT-SIFAT
ROTASI
(Perputaran dengan pusat 0)
Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
SIFAT-SIFAT
DILATASI
(Perbesaran terhadap pusat 0)
Ket.:
(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
TRANSFORMASI
LINIER
Ditentukan oleh matriks éa bù
ëc dû
é x' ù = é a b ù é x ù
ë y' û ë c d û ë y û
é x ù = 1 é a -b ù é x' ù
ë y û ad - bc ë -c d û ë y' û
Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.
Matriks
|
Perubahan
|
Perubahan
|
é
a
ù
ë bû |
(x,y)
® (x+a, y+b)
|
F(x,y)
= 0 ® (x-a, y-b) = 0
|
Ket
:
x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b |
- Dua buah translasi berturut-turut é
a ù diteruskan
dengan
ë b û
dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
ë d û ë b + d û
-
Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
Pencerminan
terhadap
|
Matriks
|
Perubahan
Titik
|
Perubahan
fungsi
|
sumbu-x
|
é
1
-0 ù
ë 0 -1 û |
(x,y)
® (x,-y)
|
F(x,y)
= 0 ® F(x,-y) = 0
|
sumbu
-y
|
é
-1 0 ù
ë -0 1 û |
(x,y)
® (-x,y)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-x,y) = 0
|
garis
y = x
|
é
0
1 ù
ë 1 0 û |
(x,y)
® (y,x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(y,x) = 0
|
garis
y = -x
|
é
-0 -1
ù
ë -1 -0 û |
(x,y)
® (-y,-x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-y,-x)= 0
|
Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
SIFAT-SIFAT
- Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan
suatu identitas,
artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
-
Pengerjaan dua refleksi terhadap
dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi
(pergeseran) dengan sifat:
- Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
- Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari
sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua
sumbu sejajar bersifat tidak
komutatip.
- Pengerjaaan
dua refleksi terhadap
dua sumbu yang saling tegak lurus,
menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah
lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan.
Refleksi
terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
- Pengerjaan
dua refleksi berurutan terhadap
dua sumbu yang berpotongan
akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
- Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
- Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
- Arah
perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu
kedua.
rotasi
|
matriks
|
perubahan
titik
|
perubahan
fungsi
|
½
p
|
é0
-1ù
ë1 -0 û |
(x,y)
® (-y,x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(y,-x) = 0
|
p
|
é-1
0ù
ë1 -1 û |
(x,y)
® (-x,-y)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-x,-y) = 0
|
3/2
p
|
é0
-1ù
ë-1 0 û |
(x,y)
® (y,-x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-y,x) = 0
|
q
|
écosq
-sinq ù ësinq cosq û |
(x,y)
® (x cos
q - y sinq, x sin q
+ y cos q)
F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0 |
Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
SIFAT-SIFAT
- Dua
rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar
dsama dengan jumlah kedua sudut
putar semula.
-
Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
Dilatasi
|
Matriks
|
Perubahan
titik
|
Perubahan
fungsi
|
(0,k)
|
ék
0ù
ë0 kû |
(x,y)®(kx,ky)
|
F(x,y)=0®F(x/k,y/k)
|
Ket.:
(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
Ditentukan oleh matriks éa bù
ëc dû
é x' ù = é a b ù é x ù
ë y' û ë c d û ë y û
é x ù = 1 é a -b ù é x' ù
ë y û ad - bc ë -c d û ë y' û
Perubahan
Titik
|
Perubahan
Fungsi
|
(x,y)®(ax+by,
cx+dy)
|
F(x,y)=0
® édx
- by , -cx + ay ù
ëad - bc ad - bc û |
Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.
Komentar